Insegnamento ALGEBRA COMMUTATIVA E COMPUTAZIONALE
| Nome del corso | Matematica |
|---|---|
| Codice insegnamento | 55A00034 |
| Curriculum | Matematica per l'economia e la finanza |
| Docente responsabile | Giuliana Fatabbi |
| Docenti |
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| Ore |
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| CFU | 6 |
| Regolamento | Coorte 2024 |
| Erogato | Erogato nel 2025/26 |
| Erogato altro regolamento | |
| Attività | Caratterizzante |
| Ambito | Formazione teorica avanzata |
| Settore | MAT/02 |
| Tipo insegnamento | Opzionale (Optional) |
| Tipo attività | Attività formativa monodisciplinare |
| Lingua insegnamento | Italiano |
| Contenuti | Approfondimento della teoria degli anelli commutativi con unità, lo studio dei moduli su anelli commutativi e introduzione alla teoria delle basi di Gröbner. Particolare enfasi sarà posta sugli aspetti computazionali e sulle applicazioni dell’algebra commutativa alla geometria algebrica. |
| Testi di riferimento | Atiyah-Macdonald, Intoduction to Commutative algebra, Addison-Wesley, 1969 Cox-Little-O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer , 1997 Eventuale materiale integrativo reperibile in Unistudium |
| Obiettivi formativi | Il corso si propone di: approfondire la teoria degli anelli commutativi con unità, con particolare attenzione all’anello dei polinomi e ai suoi quozienti, in vista delle applicazioni dell’algebra commutativa alla geometria algebrica; introdurre la teoria delle basi di Gröbner, al fine di avviare lo studente all’algebra computazionale e alle sue principali applicazioni. Un ulteriore obiettivo è affinare le capacità di astrazione, mostrando come una solida conoscenza teorica possa costituire la base per lo sviluppo di strumenti applicativi significativi. Risultati di apprendimento attesi Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Conoscenza dei principali risultati e metodi della teoria delle strutture algebriche e delle loro applicazioni. Capacità di leggere, comprendere e approfondire articoli e testi della letteratura matematica, rielaborandone i contenuti in modo chiaro e rigoroso. Capacità di analizzare i problemi individuandone gli elementi essenziali. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Abilità nel costruire e risolvere esempi, esercizi e problemi, anche teorici, riconducibili a quelli già noti o di nuova formulazione. Sviluppo delle competenze computazionali, incluse le abilità nell’uso di software dedicati all’algebra computazionale. Autonomia di giudizio (Making judgements): Capacità di sviluppare argomentazioni logiche rigorose, distinguendo chiaramente ipotesi e conclusioni. Capacità di valutare la correttezza di dimostrazioni e di identificare eventuali errori di ragionamento. Attitudine a formulare giudizi autonomi sull’applicabilità dei modelli algebrici a contesti teorici e pratici. Abilità comunicative (Communication skills): Capacità di presentare in forma orale e scritta argomenti, problemi e soluzioni con chiarezza e precisione, adattando il linguaggio al contesto e agli interlocutori. Capacità di motivare le scelte metodologiche e computazionali adottate nella risoluzione di problemi. Capacità di apprendimento (Learning skills): Capacità di approfondire autonomamente argomenti tratti dalla letteratura algebrica. Autonomia nello studio sistematico di nuovi contenuti nell’ambito dell’algebra commutativa e computazionale. |
| Prerequisiti | Concetti di base su anelli e ideali, in particolare su anelli di polinomi a coefficienti in un campo. |
| Metodi didattici | Lezioni frontali |
| Altre informazioni | Con l'accordo degli studenti frequentanti, il corso puo' essere svolto, interamente o in parte, in lingua inglese. Utilizzo della piattaforma Unistudium |
| Modalità di verifica dell'apprendimento | Modalità d’esame L’esame consiste in una prova orale della durata di circa 45–60 minuti. Durante la prova, lo studente sarà invitato a: illustrare la soluzione di 2 o 3 esercizi assegnati alla fine del corso; esporre e discutere alcuni degli argomenti trattati durante le lezioni. La prova è finalizzata a valutare il livello di comprensione, la capacità di rielaborazione critica e l’approfondimento personale dei contenuti affrontati. Su richiesta dello studente, l’esame potrà essere sostenuto in lingua inglese. Inclusività e supporto Per informazioni sui servizi di supporto agli studenti con disabilità e/o DSA si invita a consultare la pagina: www.unipg.it/disabilita-e-dsa. Il docente è comunque disponibile a valutare individualmente eventuali misure compensative o percorsi personalizzati per studenti con disabilità, DSA, studenti lavoratori o non frequentanti. |
| Programma esteso | Programma dettagliato I. Anelli e ideali Prime proprietà degli anelli commutativi con unità Ideali primi e massimali Anelli locali Nilradicale e radicale di Jacobson Operazioni sugli ideali e radicale di un ideale Omomorfismi di anelli Ideali estesi e contratti II. Moduli Definizione e proprietà fondamentali Somma diretta, prodotto diretto, moduli liberi Moduli finitamente generati, lemma di Nakayama Omomorfismi tra moduli Algebre su un anello III. Anelli e moduli di frazioni Definizione e proprietà generali Localizzazione e proprietà locali Ideali negli anelli di frazioni IV. Anelli noetheriani e geometria algebrica Definizione di anelli noetheriani Varietà affini, K-algebre affini Dizionario tra algebra e geometria Dimensione di Krull Moduli noetheriani: prime proprietà V. Anelli artiniani Definizione e proprietà Relazione tra anelli artiniani e noetheriani Caratterizzazione: un anello è artiniano se e solo se è noetheriano e di dimensione zero VI. Decomposizione primaria Ideali primari e loro proprietà Decomposizione primaria Primi associati, divisori dello zero Unicità delle componenti isolate Il caso noetheriano VII. Teorema degli zeri di Hilbert Forma debole e forma forte VIII. Dipendenza integrale e domini normali Definizioni e proprietà Teorema del Going Up Domini integrali normali e Teorema del Going Down IX. Cenni di teoria della dimensione Catene di ideali primi, altezza, dimensione Teorema dell’ideale principale e dell’altezza di Krull Dimensione degli anelli di polinomi su un campo Anelli locali: sistemi di parametri, dimensione di immersione Definizione e significato geometrico degli anelli locali regolari X. Teoria delle basi di Gröbner Basi nel caso lineare e univariato Ordinamenti monomiali Algoritmo di divisione Definizione di base di Gröbner S-polinomi e algoritmo di Buchberger Basi di Gröbner ridotte XI. Applicazioni delle basi di Gröbner Applicazioni elementari Teoria dell’eliminazione Mappe polinomiali Alcune applicazioni alla geometria algebrica |